Уважаемый студент!

Данная работа не готова, но Вы можете заказать ее у нас за символическую цену, связавшись с нами любым удобным для Вас способом:

Мы ответим Вам в самое ближайшее время. Всегда рады помочь!

Раздел 1. Теория вероятностей

  • На плоскости дано n точек, из которых m точек лежат на одной прямой; из остальных точек никакие три не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки? Сколько существует различных треугольников с вершинами в этих точках?
  • Для посещения театра закуплено 2n билетов в один ряд партера. Сколькими способами можно распределить эти билеты между n мужчинами и n женщинами, чтобы два мужчины или две женщины не сидели рядом.
  • Сколькими способами можно распределить уроки в шести классах между тремя учителями, если каждый учитель будет преподавать в двух классах?
  • На плоскости расположены n точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых можно провести через эти точки?
  • Сколькими различными способами можно выбрать из 15 человек делегацию в составе трех человек?
  • Сколько сигналов можно подать пятью различными флажками, поднимая их в любом количестве и в произвольном порядке?
  • Сколько различных музыкальных фраз можно составить из 6 нот, если не допускать в одной фразе повторения звуков?
  • Сколькими способами можно разместить 12 человек за столом, возле которого поставлены 12 стульев?
  • Сколько семизначных чисел можно образовать с помощью семи различных цифр, отличных от 0?
  • У субъекта А 5 красных и 7 белых фишек, а у В - 7 красных и 5 белых. А и В выкладывают по 6 фишек. Сколькими способами можно в выложенных 12 фишках получить по 6 красных и белых?
  • Имеется 5 разноцветных фишек, которые выкидываются по 3 в ряд. Сколько существует различных комбинаций из трех последовательно выложенных фишек? Сколько будет комбинаций, если одна из фишек имеет уже определенный (один из пяти) цвет?
  • В заборе 20 досок, каждую надо покрасить в синий, зеленый или желтый цвет, причем соседние доски должны быть покрашены в разные цвета. Сколькими способами это можно сделать?
  • В классе 25 человек. Сколькими способами можно выбрать из них а) дежурного и старосту; б) двух дежурных; в) трех дежурных?
  • У Пети есть 5 книг по математике, а у Васи – 7. Сколькими способами они могут обменять две книги одного на две книги другого?
  • Из города А в город В можно добраться поездом, автобусом, самолетом, теплоходом; из города В в город С можно добраться теплоходом и автобусом. Сколькими способами можно осуществить путешествие по маршруту город А – город В – город С?
  • Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если: а) цифры в числе не повторяются; б) цифры могут повторяться; в) цифры могут повторяться, но числа должны быть нечетными.
  • Сколько не более чем трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе не повторяются?
  • Секретный замок сейфа состоит из 5 дисков, на каждом из которых написано по 12 букв. Сейф открывается, если на каждом из дисков выбрана определенная буква. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим кода и подбирающим его наудачу?
  • Сколько различных четырехбуквенных слов можно составить из букв слова ученик, написанных на отдельных карточках?
  • Сколькими очередей можно составить из 10 человек?
  • Сколько чисел можно составить из цифр числа 55121213?
  • Сколько различных хорд можно провести через 6 точек, лежащих на данной окружности?
  • В кондитерском магазине продаются пирожные 4 сортов: наполеоны, песочные, эклеры и слоёные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?
  • На прямой взято 5 точек, а на параллельной ей прямой взято 3 точки. Сколько существует различных треугольников, вершинами которых являются эти точки?
  • В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе - мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?
  • Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу?
  • Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9?
  • Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?
  • Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)?
  • В 8 “а” классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1 девочки. Сколькими способами учительница может эту пару выбрать?
  • В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы. Сколькими способами могут распределится места по окончании соревнований?
  • В 9 “б” классе 6 человек (Галя, Света, Катя, Оля, Максим, Витя) учатся на все пятерки. Департамент образования премировал лучших учащихся путевками в Анапу. Но, к сожалению, путевок всего четыре. Сколько возможно вариантов выбора учеников на отдых?
  • Пете на день рождения подарили 7 новых дисков с играми, а Вале папа привез 9 дисков из командировки. Сколькими способами они могут обменять 4 любых диска одного на 4 диска другого?
  • Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых. Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15 рядовых?
  • В ювелирную мастерскую привезли 6 изумрудов, 9 алмазов и 7 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 3 изумруда, 5 алмазов и 2 сапфиров. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет?
  • На выборах победили 9 человек - Сафонов, Николаев, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев, Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?
  • В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно сделать?
  • В студенческом общежитии в одной комнате живут трое студентов Петя, Вася и Коля. У них есть 6 чашек, 8 блюдец и 10 чайных ложек (все принадлежности отличаются друг от друга). Сколькими способами ребята могут накрыть стол для чаепития (так, что каждый получит чашку, блюдце и ложку)?
  • В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хранятся?
  • Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?
  • В 9 классе 15 предметов. Завучу школы нужно составить расписание на субботу, если в этот день 5 уроков. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все уроки различные?
  • В огороде у бабушки растут 3 белые, 2 алые и 4 чайных розы. Сколькими различными способами можно составить букет из трех роз разного цвета?
  • К 60-летию Победы группа школьников отправилась по местам боевых действий в Смоленской области. Они планировали осуществить поход по маршруту деревни Сосновка - Быковка – Масловка - Видово. Из С в Б можно проплыть по реке или пройти пешком, из Б в М- пешком или на автобусе, из М в В - по реке, пешком или автобусе. Сколько вариантов похода есть у щкольников?
  • Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?
  • В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?
  • Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)
  • Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух человек одного пола?
  • Сколько различных буквосочетаний можно получить перестановкой карточек со следующими буквами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, И, К?
  • В студенческой столовой продают сосиски в тесте, ватрушки и пончики. Сколькими способами можно приобрести пять пирожков?
  • Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?
  • Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?
  • Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?
  • В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?
  • Сколько существует выигрышных комбинаций из 2 карт при игре в «очко»?

Для тех, кто не знает: выигрывает комбинация 10 + ТУЗ (11 очков) = 21 очко и, давайте будем считать выигрышной комбинацию из 2-х тузов.

55) В лифт 12-этажного дома сели 3 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со 2-го) этаже. Сколькими способами:

1) пассажиры могут выйти на одном и том же этаже (порядок выхода не имеет значения);

2) два человека могут выйти на одном этаже, а третий – на другом;

3) люди могут выйти на разных этажах;

4) пассажиры могут выйти из лифта?

  • Алексей занимается спортом, причём 4 дня в неделю – лёгкой атлетикой, 2 дня – силовыми упражнениями и 1 день отдыхает. Сколькими способами он может составить себе расписание занятий на неделю?
  • В кошельке находится достаточно большое количество 1-, 2-, 5- и 10-рублёвых монет. Сколькими способами можно извлечь три монеты из кошелька?
  • Согласно государственному стандарту, автомобильный номерной знак состоит из 3 цифр и 3 букв. При этом недопустим номер с тремя нулями, а буквы выбираются из набора А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х (используются только те буквы кириллицы, написание которых совпадает с латинскими буквами).

Сколько различных номерных знаков можно составить для региона?

  • Сколько четырехзначных чисел можно составить из 9 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
  • В чемпионате участвует 12 команд. Сколькими различными способами могут быть распределены три различные медали?
  • В семье 6 человек. За столом 6 стульев. В семье решили каждый вечер рассаживаться на эти 6 стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений?
  • Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать капитана команды для математических соревнований и его заместителя?
  • Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде?
  • Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?
  • Три медведя выбегают из дома, догоняя девочку. Сколькими способами они смогут это сделать?
  • Сколькими способами можно построить пятерых человек в шеренгу?
  • Сколькими способами 4 вора могут по одному разбежаться на все 4 стороны?
  • 11 футболистов строятся перед началом матча. 1-м — обязательно капитан, 2-м — обязательно вратарь, а остальные — случайным образом. Сколько существует способов построения?
  • В классе 27 учеников, из которых нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) 1-й ученик должен решить задачу, 2-й — сходить за мелом, 3-й — пойти дежурить в столовую; б) им следует спеть хором?

  • В коридоре 3 лампочки. Сколько существует различных способов освещения коридора? (включая случай, когда все три не горят)
  • У бармена есть 6 сортов зеленого чая. Для проведения чайной церемонии требуется подать зеленый чай ровно 3 различных сортов. Сколькими способами бармен может выполнить заказ?
  • В чемпионате по футболу 7 команд. Каждая команда играла с каждой один раз. Сколько всего было игр?
  • Сколько всего исходов, если друг за другом из колоды вынимают две карты, не возвращая карту обратно (выбор без возвращения)?
  • Сколько существует всего исходов, если из колоды вынимают две карты одновременно?
  • У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?
  • Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претен- дентов: 6 женщин и 8 мужчин?
  • В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?
  • В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?
  • Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать?
  • Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?
  • В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?
  • Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?
  • Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?
  • Каких чисел от 1 до 1000000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?
  • В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько существует способов это сделать?
  • Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?
  • В ящике 100 деталей, из них 30 – деталей 1-го сорта, 50 – 2-го, остальные – 3-го. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта?
  • Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?
  • В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по всем номинациям установлены различные премии?
  • В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?
  • В условиях задачи 89 определить, сколько существует вариантов распределения призов, если по всем номинациям установлены одинаковые призы?
  • Садовник должен в течении трех дней посадить 6 деревьев. Сколькими способами он может распределить по дням работу, если будет сажать не менее одного дерева в день?
  • Сколько существует четырехзначных чисел (возможно, начинающихся с нуля), сумма цифр которых равна 5?
  • Сколькими способами можно разбить группу из 25 студентов на три подгруппы А, В и С по 6, 9 и 10 человек соответственно?
  • Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 4, 5 и 6, в которых цифра 4 повторяется 3 раза, а цифры 5 и 6 – по 2 раза?
  • В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта – апельсины?
  • Преподаватель предлагает каждому из трех студентов задумать любое число от 1 до 10. Считая, что выбор каждым из студентов любого числа из заданных равновозможен, найти вероятность того, что у кого-то из них задуманные числа совпадут.
  • Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места.
  • Абонент забыл последние 2 цифры телефонного номера, но помнит, что они различны и образуют двузначное число, меньшее 30. С учетом этого он набирает наугад 2 цифры. Найти вероятность того, что это будут нужные цифры.
  • Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые.
  • На шахматную доску случайным образом поставлены две ладьи. Какова вероятность, что они не будут бить одна другую?
  • Шесть рукописей случайно раскладывают по пяти папкам. Какова вероятность того, что ровно одна папка останется пустой?
  • Цифры 1, 2, 3, …, 9, выписанные на отдельные карточки складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) четное; б) двузначное.
  • На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.
  • На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: "а", "м", "р", "т", "ю". Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной карточке можно прочесть слово "юрта".
  • Ребенок имеет на руках 5 кубиков с буквами: А, К, К, Л, У. Какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла"?
  • Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подготовил 50. Какова вероятность того, что взятый наудачу студентом билет, содержащий 2 вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов?
  • Какова вероятность того, что среди вынутых наудачу 4 карт из полной колоды 52 карт ровно две окажутся принадлежащими пиковой масти?
  • Найти вероятность того, что в 8-значном числе ровно 4 цифры совпадают, а остальные различны.
  • В прямоугольник 5×4 см2 вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?
  • Какова вероятность Вашей встречи с другом, если вы договорились встретиться в определенном месте, с 12.00 до 13.00 часов и ждёте друг друга в течение 5 минут?
  • На отрезок АВ длины L, брошена точка М так, что любое ее положение на отрезке равновозможно. Найти вероятность того, что меньший из отрезков (АМ или МВ) имеет длину, большую чем L/3.
  • Шесть клиентов случайным образом обращаются в 5 фирм. Найти вероятность того, что хотя бы в одну фирму никто не обратится.
  • Пусть в урне имеется N шаров, из них М белых и N–M черных. Из урны извлекается n шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно m белых шаров.
  • Точку наудачу бросили на отрезок [0; 2]. Какова вероятность ее попадания в отрезок [0,5; 1,4]?
  • Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц А и В, если приход каждого из них может произойти наудачу в течении указанного часа и моменты прихода независимы?
  • В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?
  • Среди сотрудников фирмы 28% знают английский язык, 30% – немецкий, 42% – французский; английский и немецкий – 8%, английский и французский – 10%, немецкий и французский – 5%, все три языка – 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный сотрудник фирмы: а) знает английский или немецкий; б) знает английский, немецкий или французский; в) не знает ни один из перечисленных языков.
  • Один из мальчиков родился в марте, а другой в апреле. Какова вероятность того, что оба они родились в первой неделе месяца?
  • Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятность следующих событий: а) только одно отделение получит газеты вовремя; б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.
  • Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
  • Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
  • Для разрушения моста достаточно попадания одной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будут сброшены 4 бомбы с вероятностями попадания соответственно 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
  • Чему равна вероятность того, что при одновременном бросании трех игральных костей 2 очка появятся на 2 костях?
  • В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?
  • Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали?
  • В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
  • Три экзаменатора принимают экзамен по некоторому предмету у группы в 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй — 3 студентов, а третий — 21 студента (выбор студентов производится случайным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать экзамен у первого преподавателя равны 40%, у второго — только 10%, у третьего — 70%. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен.
  • Фирма имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, B, С. На долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что среди поставляемых фирмой А деталей 10% бракованных, фирмой В – 5% и фирмой С – 6%. Какова вероятность, что взятая наугад деталь окажется годной?
  • Пусть известно, что студент не сдал экзамен, т.е. получил оценку «неудовлетворительно». Кому из трех преподавателей вероятнее всего он отвечал? (см. задачу 128)
  • Игральная кость брошена 6 раз. Найти вероятность того, что ровно 3 раза выпадет «шестерка».
  • Из n аккумуляторов за год хранения k выходит из строя. Наудачу выбирают m аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них l исправных. n=100, k=7, m=5, l=
  • Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут: а) три элемента; б) не менее четырех элементов; в) хотя бы один элемент.
  • Сколько следует сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?
  • Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более, чем 2 раза.
  • Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины.
  • Некоторое изделие может поступить для обработки в случайном порядке на один из трех станков с вероятностями соответственно равными Р1 = 0,2; Р2 = 0,3; Р3 = 0,5. При обработке на первом станке вероятность брака равна 0,02, на втором – 0,03, на третьем – 0,05. Найти вероятность того, что поступившее в цех изделие после обработки окажется удовлетворяющим техническим условиям.
  • Пусть в условиях предыдущей задачи поступившее в цех изделие после обработки оказалось удовлетворяющим техническим условиям. Какова вероятность того, что изделие обрабатывалось на третьем станке?
  • Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,9. Определить вероятность того, что из трех наудачу взятых деталей: а) две окажутся стандартными; б) все три окажутся стандартными.
  • В жилом доме имеется n ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет между m1 и m2. Найти наивероятнейшее число включенных ламп среди n и его соответствующую вероятность. n=6400, m1=3120, m2=3200.
  • Вычислительное устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента за смену равна р. Найти вероятность, что за смену откажут m элементов. р=0,024, m=6.
  • Найти вероятность того, что если бросить монету 200 раз, то орел выпадет от 90 до 110 раз.
  • Вероятность выхода из строя за некоторое время Т одного конденсатора равна 0,1. Найти вероятность того, что из 100 конденсаторов в течение времени Т из строя выйдут: а) ровно 16 конденсаторов; б) от 4 до 19 конденсаторов.
  • Монета подбрасывается 3 раза. Найти наиболее вероятное число успехов (выпадений герба).
  • В результате каждого визита страхового агента договор заключается с вероятностью 0,1. Найти наивероятнейшее число заключенных договоров после 25 визитов.
  • Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5%. Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить ровно три бракованные детали? Какова вероятность обнаружить не меньше трех бракованных деталей?
  • Вероятность покупки при посещении клиентом магазина составляет р=0,75. Найти вероятность того, что при 100 посещениях клиент совершит покупку ровно 80 раз.
  • Страховая компания заключила 40000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому из них в течение года составляет 2%. Найти вероятность, что таких случаев будет не более 870.
  • Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число e, чтобы с вероятностью 0,99 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не превышала e.
  • Курс акции за день может подняться на 1 пункт с вероятностью 50%, опуститься на 1 пункт с вероятностью 30% и остаться неизменным с вероятностью 20%. Найти вероятность того, что за 5 дней торгов курс поднимется на 2 пункта.
  • В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной величины x – числа опробованных ключей.
  • Построить функцию распределения Fx(x) для случайной величины x из задачи 151.
  • Совместный закон распределения случайных величин x и h задан c помощью таблицы

x               h

1

2

–1

1/16

3/16

0

1/16

3/16

1

1/8

3/8

Вычислить частные законы распределения составляющих величин x и h. Определить, зависимы ли они. Вычислить вероятность .

  • Игральная кость брошена два раза. Составить закон распределения случайной величины Х – числа появления двойки. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
  • Пусть случайная величина ξ имеет следующий закон распределения:

x

–1

0

2

P

1/4

1/4

1/2

Вычислить математическое ожидание Mx, дисперсию Dx и среднеквадратическое отклонение s.

  • Для пары случайных величин из задачи 153 вычислить .
  • Для пары случайных величин из задачи 153 вычислить ковариацию cov(x,h).
  • Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

X

2

5

8

P

0,4

P2

0,1

Найти: Р2; функцию распределения F(х) и построить ее график; математическое ожидание; дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х. Найти закон распределения случайной величины Y, где Y = 2X, Y = X2.

  • Случайная величина Х задана функцией распределения F(x):

Найти: а) плотность распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию, СКО, медиану и моду случайной величины Х; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (1/6; 1/3); в) квантили порядка 0,1; 0,5; 0,9 и показать их на графике.

  • Диаметр детали, изготовленной заводом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001, а математическое ожидание – 2,5 см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали.
  • Число аварий на угольных шахтах подчиняется закону гамма-распределения с параметрами 0,429 и 1,68 • 10-3. Определить вероятность того, что число аварий будет находиться в пределах х1 = 500 и х2 = 600.
  • Испытываются два независимо работающих элемента. Длительность безотказной работы первого имеет показательное распределение F1(t) = 1 – e-0,05t, второго - F2(t) = 1 – e-0,1t. Найти вероятность того, что за время длительностью 18 часов: а) оба элемента будут работать; б) откажет только 1 элемент; в) откажет хотя бы 1 элемент; г) оба элемента откажут.
  • Среднее число ошибок, которые делает оператор в течение часа работы, равно 2. Найти вероятность того, что за три часа работы оператор сделает: а) 4 ошибки; б) не менее трех ошибок; в) хотя бы одну ошибку.
  • Случайная величина Х имеет бета-распределение с параметрами а = 30, b = 2. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал (0,2; 0,5), математическое ожидание и дисперсию Х.
  • Случайный вектор (x,h) принимает значения (0,0), (1,0), (–1,0), (0,1) и (0,–1) равновероятно. Вычислить ковариацию случайных величин x и h. Показать, что они зависимы.
  • Случайные приращения цен акций двух компаний за день x и h имеют совместное распределение, заданное таблицей:

x               h

-1

+1

-1

0,3

0,2

+1

0,1

0,4

Найти коэффициент корреляции.

  • Случайные приращения цен акций двух компаний за день имеют дисперсии Dx=1 и Dh=2, а коэффициент их корреляции r=0,7. Найти дисперсию приращения цены портфеля из 5 акций первой компании и 3 акций второй компании.
  • Распределение двумерной случайной величины задано таблицей:

h\x

1

3

4

8

3

0,15

0,06

0,25

0,04

6

0,30

0,10

0,03

0,07

Найти условное распределение и условное математическое ожидание h  при x=1.

  • Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

Определить константу C, построить функцию распределения Fx(x) и вычислить вероятность .

  • Для случайной величины x из задачи 169 вычислить математическое ожидание и дисперсию.
  • Пусть задана случайная величина . Вычислить вероятность .
  • Случайная величина x равномерно распределена на отрезке [0, 2]. Найти плотность случайной величины .
  • Пусть двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника . Вычислить вероятность неравенства x>h.
  • В условиях предыдущей задачи определить, независимы ли составляющие случайного вектора x и h.
  • В условиях предыдущей задачи вычислить .
  • Пусть x и h — независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметром . Вычислить плотность суммы .
  • Двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника . Найти условное распределение x при условии h=y и функцию регрессии jx|h(y).
  • В 400 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов будет меньше 20.
  • В продукции цеха детали отличного качества составляют 50%. Детали укладываются в коробки по 200 шт. в каждой. Какова вероятность того, что число деталей отличного качества в коробке отличается от 100 не более чем на 5?
  • Используя условия задачи 179, указать, в каких границах с вероятностью 0,997 находится число деталей отличного качества в коробке.
  • Используя условия задачи 179, определить, сколько деталей надо взять, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, можно было утверждать, что число деталей отличного качества среди них не менее 100.
  • Доходы жителей города имеют математическое ожидание 10 тыс. руб. и среднее квадратическое отклонение 2 тыс. руб. (в месяц). Найти вероятность того, что средний доход 100 случайно выбранных жителей составит от 9,5 до 10,5 тыс. руб.
  • Срок службы электрической лампы имеет показательное распределение с математическим ожиданием 1000 часов. Найти вероятность того, что средний срок службы для 100 ламп составит не менее 900 часов.

 

Раздел 2. Математическая статистика

  • В результате исследований зависимости от  получены данные, показанные в таблице:
 

Вариант,

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

2

0,55

0,48

1,88

1,02

1,23

1,26

1,28

1,29

1,17

1,11

0,89

0,81

3

0,68

0,62

0,91

1,02

1,17

1,19

1,21

1,23

1,13

1,09

0,19

0,85

4

0,68

0,63

0,91

1,02

1,16

1,19

1,20

1,22

1,12

1,08

0,92

0,85

5

0,73

0,68

0,92

1,01

1,14

1,16

1,17

1,18

1,10

1,07

0,94

0,89

6

0,71

0,66

0,92

1,01

1,15

1,17

1,18

1,20

1,12

1,08

0,93

0,87

7

0,72

0,67

0,92

1,01

1,14

1,16

1,18

1,19

1,10

1,07

0,93

0,88

8

0,74

0,70

0,93

1,01

1,14

1,15

1,16

1,18

1,10

1,06

0,94

0,89

9

0,79

0,75

0,94

1,01

1,11

1,12

1,14

1,05

1,08

1,06

0,95

0,90

10

0,77

0,73

0,94

1,01

1,12

1,14

1,15

1,16

1,09

1,06

0,94

0,90

11

0,80

0,77

0,95

1,01

1,10

1,12

1,13

1,13

1,08

1,05

0,95

0,91

 

 

Вариант,

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

2

0,56

0,47

1,89

1,01

1,24

1,25

1,29

1,28

1,18

1,10

0,90

0,80

0,79

3

0,69

0,61

0,92

1,01

1,18

1,18

1,22

1,22

1,14

1,08

0,20

0,84

0,83

4

0,69

0,62

0,92

1,01

1,17

1,18

1,21

1,21

1,13

1,07

0,93

0,84

0,83

5

0,74

0,67

0,93

1,00

1,15

1,15

1,18

1,17

1,11

1,06

0,95

0,88

0,87

6

0,72

0,65

0,93

1,00

1,16

1,16

1,19

1,19

1,13

1,07

0,94

0,86

0,85

7

0,73

0,66

0,93

1,00

1,15

1,15

1,19

1,18

1,11

1,06

0,94

0,87

0,86

8

0,75

0,69

0,94

1,00

1,15

1,14

1,17

1,17

1,11

1,05

0,95

0,88

0,87

9

0,80

0,74

0,95

1,00

1,12

1,11

1,15

1,04

1,09

1,05

0,96

0,89

0,88

10

0,78

0,72

0,95

1,00

1,13

1,13

1,16

1,15

1,10

1,05

0,95

0,89

0,88

11

0,81

0,76

0,96

1,00

1,11

1,11

1,14

1,12

1,09

1,04

0,96

0,90

0,89

Требуется: а) построить уравнение линейной регрессии вида ;

б) вычислить коэффициент корреляции  и сделать вывод о тесноте связи между признаками  и ;

в) построить диаграмму рассеивания и нанести на неё полученное уравнение линейной регрессии.

Все вычисления производить с четырьмя цифрами после запятой.

  • В результате проведенных исследований влияния и  на  получены данные:

Номер варианта

Матрица коэффициентов системы

Столбец свободных членов

1

1

3

2

2

1

-1

1

4

1

3

5

-1

2

2

3

2

-3

1

3

4

-2

-2

1

-1

1

3

5

6

2

-2

4

-1

5

-2

4

3

2

3

4

2

3

5

-1

7

4

6

-3

-5

1

10

9

5

3

5

3

-2

-6

2

5

2

-3

6

1

2

6

2

3

1

5

-2

-2

-3

2

4

4

3

3

7

1

2

3

3

-1

2

-1

5

-2

0

7

1

8

5

1

2

7

2

-1

-2

3

5

3

4

7

9

3

2

1

4

-1

1

-3

2

3

0

4

4

10

2

3

2

3

-2

5

-3

5

-6

5

1

7

11

2

3

3

-3

2

-1

2

-4

2

1

1

4

12

3

2

3

5

-3

4

-1

5

2

1

0

3

13

2

3

2

-5

4

3

8

3

2

1

4

3

14

4

3

3

-2

4

5

10

3

-1

4

4

1

15

2

3

3

5

2

-1

3

5

4

4

1

1

16

1

3

2

-3

2

3

2

6

3

4

2

2

17

3

2

1

4

2

-2

-5

-3

-5

3

1

1

18

3

2

5

2

-3

-1

-5

4

3

5

3

7

19

2

5

2

1

-2

3

-3

2

3

2

3

1

20

3

5

2

2

-3

-5

-3

2

5

2

3

1

21

2

4

3

3

5

-1

-1

3

5

0

4

1

22

2

7

3

2

4

-1

4

8

5

3

5

1

23

7

3

2

-8

4

-3

8

8

3

9

1

4

24

1

3

2

-2

1

-3

3

5

2

0

2

3

25

4

1

5

-1

4

2

8

3

7

1

1

5

26

2

3

3

3

-2

-3

-2

2

1

1

5

2

27

2

3

5

-1

2

-2

2

-1

2

0

6

1

28

1

2

3

2

-3

1

-1

3

2

5

6

3

29

5

4

2

2

-3

1

-1

-5

3

3

2

2

30

3

4

2

-5

3

-3

3

-2

-5

0

6

7

Требуется построить уравнение многофакторной модели вида .

 





ИЛИ